仔细看看我们的报头。这四颗星并非装饰——它们是一点点数学上的执念。每一颗几乎正好是前一颗的 1.618 倍，而且每一颗都被同一个著名数字的不同幂次修剪过。这就是那个数字的故事、我们把它藏进去的形状，以及为什么一家整天为一个三明治的价格争论的编辑部也会在意黄金比例。
大多数人从不会多看一个标志一眼。这差不多就是标志的本职：被认出，而不是被研究。我们的标志是为奖赏第二眼而设计的——却几乎没人肯看第二眼。所以就把这当作我们的坦白吧。USA Times 字标里的这些星星并不是为了显得爱国而存在，或者至少不仅仅是为此。它们是一道谜题。而这道谜题只有一个答案，一个已经精确了约 2,300 年的数字。
破绽：四颗星，一个比例
把四颗星从小到大并排放好，量一量。第二颗比第一颗大，第三颗比第二颗大，第四颗更大——这没什么稀奇。稀奇的是大了多少。每颗星的面积大约是前一颗面积的 1.618 倍。不是大致更大。不是“稍微”更大。同一个乘数，连续四次。
这个乘数有个名字：φ（phi），黄金比例。它的精确值是 (1 + √5) / 2，算出来是 1.6180339887…，永不终止也永不循环。如果你见过一位无理数名人，那多半是 π。φ 是另一位——更安静，在某些说法里更古老，而且对事物应有的形状意见多得多。
一个起步早得多的数字
欧几里得大约在公元前 300 年写下了 φ，尽管他没有称它为黄金。在《几何原本》中，他描述如何把一条线段“按中外比”分割：分割一条线段，使整体与较大部分之比，恰好等于较大部分与较小部分之比。解开这句短短的话，φ 就出来了。两千年后，天文学家约翰内斯·开普勒称它为几何学的两大瑰宝之一——另一件是毕达哥拉斯定理——并说前者是一种黄金的量度，后者是一颗珍贵的宝石。
这个数字还顽固地自我指涉，这正是用它来构造之所以有趣的原因。把它平方，你只是加一：φ² = φ + 1。取它的倒数，你就减一：1/φ = φ − 1 = 0.618…。小数点后是同样的数字，像纸牌戏法一样被挪来挪去。而如果你把莱昂纳多·斐波那契那著名数列——1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…——里的每个数除以它前面的那个，答案会径直朝 φ 走去，再也不离开。
我们该诚实一点，因为对数字诚实就是我们的整个招牌：你听到过的关于黄金比例的许多说法都被夸大了。帕特农神庙、蒙娜丽莎、你的信用卡——许多“φ 无处不在”的说法都是事后一厢情愿的测量。φ 真正出现的地方是在生长中：向日葵籽的螺旋、松果的鳞片、绕着茎排布得让彼此都不遮挡的叶子。φ 是大自然对“我如何不断变大又不重复自己？”的回答。我们觉得，这对一家报纸来说是件值得借用的好事。
为什么是星形？因为星形就是这个比例
正是这一部分，让五角星成为唯一诚实的选择。画一个正五角星——一笔画成的五角星——它内部的每一条直线都被其他线切成黄金分割。正五边形的长对角线除以它的边，恰好是 φ。星形不是被黄金比例装饰；它就是黄金比例，只是长了五个角。古代的毕达哥拉斯学派对此了然于心，甚至用五角星作为他们的秘密暗号。所以当我们去寻找一个承载这个数字的形状时，我们什么都不必添加。星形本来就有了。
黄金阶梯
给四颗工作星中最小的一颗定一个大小 100——就叫它重量吧，因为我们是按面积而不是按高度来定尺寸的。下一颗约重 161.8。再下一颗，261.8。最大的一颗，423.6。每一颗都是前一颗的 φ 倍，完全如设计所愿。但在这些数字里还藏着第二种规律，而且比第一种更漂亮。
把前两颗相加：100 + 161.8 = 261.8，正是第三颗。把第二颗和第三颗相加：161.8 + 261.8 = 423.6，正是第四颗。每颗星都是前两颗之和。这并不是叠加在黄金比例之上的巧合——它就是黄金比例。还记得 φ² = φ + 1 吗？把这个恒等式沿阶梯层层相乘，你得到的正是这条规则，也正是斐波那契的兔子所遵循的那一条。我们的星星生长得就像一个读过教科书的生命体。
然后我们把它们切开
让它们按黄金数列生长，对大多数标志来说已经足够。对我们却不够。四颗星每一颗还被修剪过——一道干净利落的切割削去一小片——而每一道切口的大小，再一次，是黄金比例的一个幂。
最小的星失去约 9.0% 的面积，也就是 1/φ⁵。下一颗失去 14.6%（1/φ⁴）。再下一颗，23.6%（1/φ³）。最大的一颗让出 38.2%（1/φ²）。我们用计算机解出每一条切割线，所以被移走的阴影部分不是“大约”这些分数——它就是这些分数，你想核对到小数点后多少位都行。
现在看这些切口重演尺寸玩过的同一个把戏。9.0% + 14.6% = 23.6%。14.6% + 23.6% = 38.2%。我们移走的那些量自成一架黄金阶梯，嵌套在星星本身的阶梯之内。而两个最大的分数，1/φ 和 1/φ²——也就是 61.8% 和 38.2%——加起来恰好等于 1，一整颗星。一层叠一层，全是乌龟——或者说，全是黄金比例。
1/φ = φ − 1 = 0.618… · φ² = φ + 1 = 2.618…
星星尺寸：100 → 161.8 → 261.8 → 423.6 （每颗 = 前两颗之和）
星星切口：1/φ⁵ ≈ 9.0% · 1/φ⁴ ≈ 14.6% · 1/φ³ ≈ 23.6% · 1/φ² ≈ 38.2%
1/φ + 1/φ² = 0.618 + 0.382 = 1
第一颗星之前的那颗星
我们的工作文件里还有一个数字，它安静地待在其余数字下面：61.8。它是整个数列生长而出的种子，因为 61.8 × φ = 100，正是我们最小的可见星。在黄金世界里，往回走和往前走一样容易；1/φ 不过是把小数点挪了一位的 φ。我们的星星与其说是从 100 开始，不如说是从 61.8 接续而来，而 61.8 又接续自 38.2，38.2 又接续自 23.6，以同样的比例永远向下。原来，一个标志是个存放无穷数列、却只展示其中段的好地方。
毫不浪费：星星的账本
这一部分至今仍让我们会心一笑。看看每一道切割留下了什么——以及掉落的那一块。把最大的星 S₄ 按 1/φ² 切开：你切下的那块重 161.803——正好是 S₂，而剩下的星重 261.803——正好是 S₃。把 S₃ 按 1/φ³ 切开：切下的边角料重 61.803——正好是 S₀，那颗种子星，而剩下的重 200——正好是两个 S₁。剪辑室地板上的每一片碎料都是这个家族的又一位成员。这个标志在回收它自己。
| 星 | 完整重量 | 切口 | 切下重量 | 剩余 | 即… |
|---|---|---|---|---|---|
| S0 | 61.803 | — | — | 61.803 | 种子 — 未动 |
| S1 | 100 | 1/φ⁵ = 9.017% | 9.017 | 90.983 | — |
| S2 | 161.803 | 1/φ⁴ = 14.590% | 23.607 | 138.197 | 剩余 = 2·S₁ − S₀ |
| S3 | 261.803 | 1/φ³ = 23.607% | 61.803 = S₀ | 200 = 2·S₁ | 切下的是 S₀；其余是两个 S₁ |
| S4 | 423.607 | 1/φ² = 38.197% | 161.803 = S₂ | 261.803 = S₃ | 切下的是 S₂；其余是 S₃ |
这一切都不是巧合，而证明只需一行。S₃ 的余量是 φ² − 1/φ（以 S₁ 为单位）。但 φ² = φ + 1，且 1/φ = φ − 1。相减：(φ + 1) − (φ − 1) = 2。正好是二。不是 1.99，也不是“大约两倍”——黄金比例自身的代数保证：当你把第三颗星按 1/φ³ 修剪时，你手里剩下的恰好是两颗第一颗。这就是 φ 全部的性格，浓缩在一个动作里：沿着它自己的幂在任何地方切开它，碎片都会像从未离开过一样重新扣回数列。
为什么要把没人要求的数学放进一个标志里？
问得好。诚实的回答是：这和支配这间编辑部其余工作的，是同一种本能。我们整天在琢磨，一份 $9.85 的外送三明治是不是其实该卖 $8.45，把别人宁愿你别去算的各种费用一笔笔加起来，并且在精确数字更有意思时拒绝四舍五入。一个建立在自欧几里得以来就精确的常数之上的报头，是我们对自己许下的一个小小的、私密的承诺：即便在你没有留意的地方，数学也对得上。尤其是在你没有留意的地方。
当然啦——一部分原因是我们单纯觉得这很酷。把一个 2,300 年前的想法明晃晃地藏在一个网站的顶端，然后等着看谁会注意到，这里头有一种特别的乐趣。如果你读到了这里，你就注意到了。欢迎来到这个书呆子专区；我们是为你而做的。
所以下次你瞥见 USA Times 的标志时，请知道：这四颗星正安静地做着算术——按 φ 生长，按 φ 切割，把自己一层层加起来，像一个拒绝结束的数列。它们一直都在这么做。只是你本不该多看第二眼。
我们是怎么算的。星星的“重量”是以像素度量、并归一化到最小工作星 = 100 的相对面积；所有星星几乎恒定的每像素重量证实了尺寸是按面积、而非按高度缩放的。黄金比例 φ 按 (1 + √5) / 2 计算到小数点后十位。图形按照标志的实际构造绘制：S₁ 取一道竖直切割，S₂ 取两片碎屑（1/φ⁷ 由一道竖直切割加上 1/φ⁴−1/φ⁷ 由一道平分线切割），S₃ 取一道平行于弦 A–C 的切割，S₄ 取一道平行于弦 A–D 的切割。每个切割偏移量都用二分搜索求解，使移走的面积等于它精确的分数——我们解出的 S₁ 切割落在 x = −0.468653，与构造图吻合到小数点后六位。图形由 USA Times Data Desk 制作。这一篇纯属好玩——没有任何餐厅在此过程中受到伤害。
译自英文原文。
