Mira de cerca nuestra cabecera. Las cuatro estrellas no son un adorno: son un pequeño acto de obsesión matemática. Cada una es casi exactamente 1.618 veces el tamaño de la anterior, y cada una está recortada por una potencia distinta del mismo número famoso. Esta es la historia de ese número, la forma en que lo escondimos y por qué una redacción que se pasa los días discutiendo el precio de un sándwich también se interesa por la proporción áurea.
Casi nadie mira un logo dos veces. Ese es más o menos el trabajo de un logo: que lo reconozcan, no que lo estudien. El nuestro está hecho para premiar la segunda mirada, y casi nadie la da. Así que considera esto nuestra confesión. Las estrellas del logotipo de USA Times no están ahí para parecer patrióticas, o al menos no solo para eso. Son un acertijo. Y el acertijo tiene una única respuesta, un número que ha sido exacto durante unos 2,300 años.
La pista: cuatro estrellas, una proporción
Coloca las cuatro estrellas una al lado de otra, de la más pequeña a la más grande, y mídelas. La segunda es mayor que la primera, la tercera mayor que la segunda, la cuarta mayor todavía: nada sorprendente ahí. Lo sorprendente es cuánto mayor. Cada estrella tiene un área de aproximadamente 1.618 veces el área de la anterior. No un poco mayor. No “algo” mayor. El mismo multiplicador, cuatro veces seguidas.
Ese multiplicador tiene nombre: φ (phi), la proporción áurea. Su valor exacto es (1 + √5) / 2, que da 1.6180339887… y no termina ni se repite nunca. Si has conocido a una celebridad irracional, probablemente fue π. φ es la otra: más discreta, más antigua según algunos relatos y con muchas más opiniones sobre cómo deberían tener forma las cosas.
Un número con muchísima ventaja
Euclides escribió φ hacia el 300 a. C., aunque no la llamó áurea. En los Elementos describe cómo cortar una recta “en media y extrema razón”: dividir una recta de modo que el todo sea a la parte mayor exactamente como la parte mayor es a la menor. Resuelve esa pequeña frase y φ aparece. Dos milenios después, el astrónomo Johannes Kepler la llamó uno de los dos grandes tesoros de la geometría —el otro es el teorema de Pitágoras— y dijo que el primero era una medida de oro y el segundo una joya preciosa.
El número es además tercamente autorreferencial, y eso es lo que lo hace divertido para construir. Elévalo al cuadrado y solo le sumas uno: φ² = φ + 1. Toma su recíproco y le restas uno: 1/φ = φ − 1 = 0.618… Son las mismas cifras después de la coma decimal, barajadas como un truco de cartas. Y si divides cada número de la famosa sucesión de Leonardo Fibonacci —1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…— por el anterior, los resultados marchan directos hacia φ y no se apartan.
Debemos ser honestos, porque ser honestos con los números es toda nuestra marca: mucho de lo que has oído sobre la proporción áurea está exagerado. El Partenón, la Mona Lisa, tu tarjeta de crédito: muchas de esas afirmaciones de que “φ está en todas partes” son mediciones ilusorias hechas a posteriori. Donde φ aparece de verdad es en el crecimiento: la espiral de semillas de un girasol, las escamas de una piña, las hojas que se reparten alrededor de un tallo para que ninguna dé sombra a la siguiente. φ es la respuesta de la naturaleza a “¿cómo sigo creciendo sin repetirme?”. Nos pareció algo bueno que un periódico podía tomar prestado.
¿Por qué una estrella? Porque la estrella es la proporción
Esta es la parte que hizo de una estrella de cinco puntas la única opción honesta. Dibuja un pentagrama regular —una estrella de cinco puntas de un solo trazo— y cada línea recta de su interior queda cortada por las demás en secciones áureas. La diagonal larga de un pentágono regular dividida por su lado es exactamente φ. La estrella no está decorada con la proporción áurea; es la proporción áurea, con cinco puntas. Los antiguos pitagóricos lo sabían lo bastante bien como para usar el pentagrama como su seña secreta. Así que cuando fuimos a buscar una forma que llevara el número, no tuvimos que añadir nada. La estrella ya lo tenía.
La escalera áurea
Da a la más pequeña de las cuatro estrellas de trabajo un tamaño de 100 —llámalo peso, ya que las dimensionamos por área, no por altura—. La siguiente pesa unos 161.8. La siguiente, 261.8. La mayor, 423.6. Cada una es φ veces la anterior, exactamente como se diseñó. Pero hay un segundo patrón escondido en esos números, y es más bonito que el primero.
Suma las dos primeras: 100 + 161.8 = 261.8, que es la tercera. Suma la segunda y la tercera: 161.8 + 261.8 = 423.6, que es la cuarta. Cada estrella es la suma de las dos anteriores. Eso no es una casualidad superpuesta a la proporción áurea: es la proporción áurea. ¿Recuerdas φ² = φ + 1? Multiplica esa identidad a lo largo de la escalera y obtienes exactamente esta regla, la misma que obedecen los conejos de Fibonacci. Nuestras estrellas crecen como un ser vivo que se ha leído el libro de texto.
Y luego las cortamos
Hacerlas crecer en una sucesión áurea habría bastado para la mayoría de los logos. Para nosotros no bastó. Cada una de las cuatro estrellas está además recortada —un único corte limpio quita una esquirla— y el tamaño de cada corte es, una vez más, una potencia de la proporción áurea.
La estrella más pequeña pierde alrededor del 9.0% de su área, que es 1/φ⁵. La siguiente pierde el 14.6% (1/φ⁴). La siguiente, el 23.6% (1/φ³). La mayor cede el 38.2% (1/φ²). Resolvimos cada línea de corte por ordenador para que la porción sombreada que se retira no sea “aproximadamente” esas fracciones: son esas fracciones, con tantos decimales como te apetezca comprobar.
Ahora observa cómo los cortes hacen el mismo truco que hicieron los tamaños. 9.0% + 14.6% = 23.6%. 14.6% + 23.6% = 38.2%. Las cantidades que retiramos forman su propia escalera áurea, anidada dentro de la escalera de las propias estrellas. Y las dos fracciones mayores, 1/φ y 1/φ² —es decir, 61.8% y 38.2%— suman exactamente 1, la estrella entera. Son tortugas, o más bien proporciones áureas, hasta el fondo.
1/φ = φ − 1 = 0.618… · φ² = φ + 1 = 2.618…
Tamaños de estrella: 100 → 161.8 → 261.8 → 423.6 (cada una = suma de las dos anteriores)
Cortes de estrella: 1/φ⁵ ≈ 9.0% · 1/φ⁴ ≈ 14.6% · 1/φ³ ≈ 23.6% · 1/φ² ≈ 38.2%
1/φ + 1/φ² = 0.618 + 0.382 = 1
La estrella anterior a la primera estrella
Hay un número más en nuestro archivo de trabajo, y está tranquilo debajo de los demás: 61.8. Es la semilla de la que crece toda la sucesión, porque 61.8 × φ = 100, nuestra estrella visible más pequeña. En el mundo áureo puedes retroceder con la misma facilidad con la que avanzas; 1/φ no es más que φ con la coma decimal desplazada. Nuestras estrellas no empiezan tanto en 100 como que continúan desde 61.8, que continúa desde 38.2, que continúa desde 23.6, hacia abajo para siempre en la misma proporción. Un logo, resulta, es un buen sitio para guardar una sucesión infinita y mostrar solo su parte central.
Nada se desperdicia: el libro de cuentas de las estrellas
Esta es la parte que todavía nos hace sonreír. Mira lo que cada corte deja atrás, y la pieza que se desprende. Corta la estrella mayor, S₄, por 1/φ²: la pieza que rebanaste pesa 161.803, exactamente S₂, y la estrella que queda pesa 261.803, exactamente S₃. Corta S₃ por 1/φ³: el recorte pesa 61.803, exactamente S₀, la estrella semilla, y lo que queda pesa 200, exactamente dos copias de S₁. Cada resto en el suelo de la sala de montaje es otro miembro de la familia. El logo se recicla a sí mismo.
| Estrella | Peso total | Corte | Peso del corte | Restante | Que es… |
|---|---|---|---|---|---|
| S0 | 61.803 | — | — | 61.803 | la semilla — intacta |
| S1 | 100 | 1/φ⁵ = 9.017% | 9.017 | 90.983 | — |
| S2 | 161.803 | 1/φ⁴ = 14.590% | 23.607 | 138.197 | lo que queda = 2·S₁ − S₀ |
| S3 | 261.803 | 1/φ³ = 23.607% | 61.803 = S₀ | 200 = 2·S₁ | el recorte es S₀; el resto son dos S₁ |
| S4 | 423.607 | 1/φ² = 38.197% | 161.803 = S₂ | 261.803 = S₃ | el recorte es S₂; el resto es S₃ |
Nada de esto es casualidad, y la demostración cabe en una línea. El resto de S₃ es φ² − 1/φ (en unidades de S₁). Pero φ² = φ + 1, y 1/φ = φ − 1. Resta: (φ + 1) − (φ − 1) = 2. Exactamente dos. No 1.99, no “alrededor del doble”: la propia álgebra de la proporción áurea garantiza que, al recortar la tercera estrella por 1/φ³, te quedas con precisamente dos de la primera. Ese es todo el carácter de φ en un solo gesto: córtala en cualquier punto de sus propias potencias y las piezas vuelven a encajar en la sucesión como si nunca se hubieran ido.
¿Por qué meter en un logo unas matemáticas que nadie pidió?
Pregunta justa. La respuesta honesta es que es el mismo instinto que rige el resto de esta redacción. Nos pasamos los días decidiendo si un sándwich a domicilio de $9.85 debería costar en realidad $8.45, sumando comisiones que otros preferirían que no sumaras y negándonos a redondear cuando el número exacto es más interesante. Una cabecera construida sobre una constante que ha sido precisa desde Euclides es una pequeña promesa privada que nos hacemos: las cuentas cuadran, incluso en los lugares donde no estás mirando. Sobre todo en los lugares donde no estás mirando.
Y, sí, en parte simplemente nos parece genial. Hay una alegría particular en esconder una idea de 2,300 años a plena vista en lo alto de un sitio web y esperar a ver quién se da cuenta. Si has leído hasta aquí, te diste cuenta. Bienvenido a la sección nerd; la hicimos para ti.
So la próxima vez que mires el logo de USA Times, ten presente que las cuatro estrellas están haciendo aritmética en silencio: creciendo por φ, cortadas por φ, sumándose a sí mismas como una sucesión que se niega a terminar. Lo han estado haciendo todo el tiempo. Solo que no debías mirar dos veces.
Cómo hicimos las cuentas. Los “pesos” de las estrellas son áreas relativas medidas en píxeles y normalizadas de modo que la estrella de trabajo más pequeña = 100; el peso por píxel casi constante en todas las estrellas confirma que los tamaños escalan por área, no por altura. La proporción áurea φ se calcula como (1 + √5) / 2 con diez decimales. Las figuras están dibujadas según la construcción real del logo: S₁ lleva un corte vertical, S₂ lleva dos virutas (1/φ⁷ mediante un corte vertical más 1/φ⁴−1/φ⁷ mediante un corte bisector), S₃ un corte paralelo a la cuerda A–C, S₄ un corte paralelo a la cuerda A–D. Cada desplazamiento de corte se resolvió por búsqueda binaria para que el área retirada iguale su fracción exacta: nuestro corte resuelto de S₁ cae en x = −0.468653, coincidiendo con el diagrama de construcción hasta seis decimales. Figuras del USA Times Data Desk. Esta va solo por diversión: ningún restaurante resultó herido.
Traducido del original en inglés.
