Присмотритесь к нашему логотипу. Четыре звезды — не украшение: это маленький акт математической одержимости. Каждая почти точно в 1.618 раза больше предыдущей, и каждая обрезана разной степенью одного и того же знаменитого числа. Вот история этого числа, формы, в которой мы его спрятали, и того, почему редакция, целыми днями спорящая о цене сэндвича, ещё и неравнодушна к золотому сечению.
Почти никто не смотрит на логотип дважды. В этом, по сути, и работа логотипа: чтобы его узнавали, а не изучали. Наш сделан так, чтобы вознаграждать за второй взгляд, — и почти никто его не бросает. Так что считайте это нашим признанием. Звёзды в логотипе USA Times стоят там не для того, чтобы выглядеть патриотично, или по крайней мере не только ради этого. Это загадка. И у загадки есть единственный ответ — число, остающееся точным вот уже около 2,300 лет.
Подсказка: четыре звезды, одно отношение
Поставьте четыре звезды рядом, от самой маленькой к самой большой, и измерьте их. Вторая больше первой, третья больше второй, четвёртая ещё больше — ничего удивительного. Удивительно то, насколько больше. Площадь каждой звезды примерно в 1.618 раза больше площади предыдущей. Не чуть-чуть больше. Не «немного» больше. Один и тот же множитель, четыре раза подряд.
У этого множителя есть имя: φ (фи), золотое сечение. Его точное значение — (1 + √5) / 2, что даёт 1.6180339887… и никогда не заканчивается и не повторяется. Если вы встречали одну иррациональную знаменитость, это, скорее всего, была π. φ — вторая: тише, по некоторым версиям старше и куда более принципиальна в том, какую форму должны иметь вещи.
Число с очень большой форой
Евклид записал φ около 300 г. до н. э., хотя и не называл его золотым. В «Началах» он описывает деление отрезка «в крайнем и среднем отношении»: разделить отрезок так, чтобы целое относилось к большей части точно так же, как большая часть — к меньшей. Решите эту короткую фразу — и φ выпадает сам собой. Спустя два тысячелетия астроном Иоганн Кеплер назвал его одним из двух великих сокровищ геометрии — второе это теорема Пифагора — и сказал, что первое есть мера золота, а второе — драгоценный камень.
Число ещё и упрямо самореференциально, и именно поэтому с ним весело строить. Возведите его в квадрат — и вы просто прибавляете единицу: φ² = φ + 1. Возьмите обратную величину — и вычитаете единицу: 1/φ = φ − 1 = 0.618… Те же цифры после запятой, перетасованные, как карточный фокус. А если разделить каждое число знаменитой последовательности Леонардо Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… — на предыдущее, ответы уверенно движутся прямо к φ и уже не отходят.
Будем честны, ведь честность в числах — вся наша суть: многое из того, что вы слышали о золотом сечении, преувеличено. Парфенон, «Мона Лиза», ваша банковская карта — многие из этих утверждений, будто «φ повсюду», это принятие желаемого за действительное задним числом. По-настоящему φ проявляется в росте: спираль семян в подсолнухе, чешуйки сосновой шишки, листья, распределяющиеся вокруг стебля так, чтобы ни один не затенял следующий. φ — это ответ природы на вопрос «как мне продолжать расти, не повторяясь?». Нам показалось, что газете это стоит позаимствовать.
Почему звезда? Потому что звезда и есть это отношение
Вот часть, из-за которой пятиконечная звезда стала единственным честным выбором. Начертите правильную пентаграмму — пятиконечную звезду одним росчерком — и каждая прямая внутри неё разрезается остальными на золотые отрезки. Длинная диагональ правильного пятиугольника, делённая на его сторону, в точности равна φ. Звезда не украшена золотым сечением; она и есть золотое сечение с пятью лучами. Древние пифагорейцы знали это достаточно хорошо, чтобы использовать пентаграмму как тайный знак. Поэтому, когда мы искали форму, которая несла бы это число, нам не пришлось ничего добавлять. У звезды это уже было.
Золотая лестница
Дайте самой маленькой из четырёх рабочих звёзд размер 100 — назовём его весом, поскольку мы задавали их по площади, а не по высоте. Следующая весит около 161.8. Следующая — 261.8. Самая большая — 423.6. Каждая в φ раз больше предыдущей, ровно как задумано. Но в этих числах прячется второй узор, и он красивее первого.
Сложите первые две: 100 + 161.8 = 261.8 — это третья. Сложите вторую и третью: 161.8 + 261.8 = 423.6 — это четвёртая. Каждая звезда — сумма двух предыдущих. Это не совпадение, наложенное поверх золотого сечения, — это и есть золотое сечение. Помните φ² = φ + 1? Умножьте это тождество вдоль лестницы — и получите ровно это правило, то самое, которому подчиняются кролики Фибоначчи. Наши звёзды растут, как живое существо, прочитавшее учебник.
А потом мы их обрезали
Вырастить их в золотой последовательности хватило бы большинству логотипов. Нам не хватило. Каждая из четырёх звёзд к тому же обрезана — одним чистым срезом снимается ломтик, — и размер каждого среза снова оказывается степенью золотого сечения.
Самая маленькая звезда теряет около 9.0% своей площади, что есть 1/φ⁵. Следующая теряет 14.6% (1/φ⁴). Следующая — 23.6% (1/φ³). Самая большая отдаёт 38.2% (1/φ²). Каждую линию среза мы вычислили на компьютере, так что снятый заштрихованный кусок — не «примерно» эти доли: это именно эти доли, с любым числом знаков после запятой, какое вам угодно проверить.
Теперь смотрите, как срезы повторяют тот же фокус, что и размеры. 9.0% + 14.6% = 23.6%. 14.6% + 23.6% = 38.2%. Снятые нами величины образуют собственную золотую лестницу, вложенную в лестницу самих звёзд. А две наибольшие доли, 1/φ и 1/φ² — то есть 61.8% и 38.2% — в сумме дают ровно 1, целую звезду. Это черепахи — точнее, золотые сечения — до самого низа.
1/φ = φ − 1 = 0.618… · φ² = φ + 1 = 2.618…
Размеры звёзд: 100 → 161.8 → 261.8 → 423.6 (каждая = сумма двух предыдущих)
Срезы звёзд: 1/φ⁵ ≈ 9.0% · 1/φ⁴ ≈ 14.6% · 1/φ³ ≈ 23.6% · 1/φ² ≈ 38.2%
1/φ + 1/φ² = 0.618 + 0.382 = 1
Звезда перед первой звездой
В нашем рабочем файле есть ещё одно число, и оно тихо сидит ниже остальных: 61.8. Это семя, из которого вырастает вся последовательность, потому что 61.8 × φ = 100 — наша самая маленькая видимая звезда. В золотом мире шагать назад так же легко, как вперёд; 1/φ — это просто φ со сдвинутой запятой. Наши звёзды не столько начинаются с 100, сколько продолжаются от 61.8, которое продолжается от 38.2, которое продолжается от 23.6, вниз до бесконечности в том же отношении. Логотип, как выясняется, — отличное место, чтобы хранить бесконечную последовательность и показывать лишь её середину.
Ничто не пропадает: бухгалтерия звёзд
Вот часть, от которой мы всё ещё улыбаемся. Посмотрите, что каждый срез оставляет — и на кусок, который отпадает. Обрежьте самую большую звезду, S₄, на 1/φ²: отрезанный кусок весит 161.803 — ровно S₂, а оставшаяся звезда весит 261.803 — ровно S₃. Обрежьте S₃ на 1/φ³: обрезок весит 61.803 — ровно S₀, звезду-семя, а остаётся 200 — ровно две копии S₁. Каждый обрезок на полу монтажной — ещё один член семьи. Логотип перерабатывает сам себя.
| Звезда | Полный вес | Срез | Вес среза | Остаток | Что есть… |
|---|---|---|---|---|---|
| S0 | 61.803 | — | — | 61.803 | семя — нетронуто |
| S1 | 100 | 1/φ⁵ = 9.017% | 9.017 | 90.983 | — |
| S2 | 161.803 | 1/φ⁴ = 14.590% | 23.607 | 138.197 | остаётся = 2·S₁ − S₀ |
| S3 | 261.803 | 1/φ³ = 23.607% | 61.803 = S₀ | 200 = 2·S₁ | обрезок — S₀; остальное — две S₁ |
| S4 | 423.607 | 1/φ² = 38.197% | 161.803 = S₂ | 261.803 = S₃ | обрезок — S₂; остальное — S₃ |
Ничего из этого не случайность, и доказательство умещается в одну строку. Остаток S₃ равен φ² − 1/φ (в единицах S₁). Но φ² = φ + 1, и 1/φ = φ − 1. Вычтем: (φ + 1) − (φ − 1) = 2. Ровно два. Не 1.99, не «примерно вдвое» — собственная алгебра золотого сечения гарантирует, что, обрезав третью звезду на 1/φ³, вы держите в руках ровно две первых. В этом весь характер φ в одном жесте: разрежьте его в любой точке по его же степеням — и куски снова встают в последовательность, будто и не уходили.
Зачем помещать в логотип математику, которую никто не просил?
Справедливый вопрос. Честный ответ: это тот же инстинкт, что движет всей остальной редакцией. Мы целыми днями решаем, должен ли доставляемый сэндвич за $9.85 на самом деле стоить $8.45, складываем сборы, которые другие предпочли бы, чтобы вы не складывали, и отказываемся округлять, когда точное число интереснее. Логотип, построенный на постоянной, точной со времён Евклида, — это маленькое личное обещание самим себе: математика сходится даже там, куда вы не смотрите. Особенно там, куда вы не смотрите.
И да — отчасти нам это просто кажется классным. Есть особая радость в том, чтобы спрятать идею возрастом 2,300 лет у всех на виду, наверху сайта, и ждать, кто заметит. Если вы дочитали досюда — вы заметили. Добро пожаловать в раздел для нердов; мы сделали его для вас.
Так что в следующий раз, взглянув на логотип USA Times, знайте: четыре звезды тихо занимаются арифметикой — растут на φ, обрезаются на φ, складывают сами себя, как последовательность, которая отказывается заканчиваться. Они делали это всё время. Просто вам не полагалось смотреть дважды.
Как мы считали. «Веса» звёзд — это относительные площади, измеренные в пикселях и нормированные так, что самая маленькая рабочая звезда = 100; почти постоянный вес на пиксель у всех звёзд подтверждает, что размеры масштабируются по площади, а не по высоте. Золотое сечение φ вычислено как (1 + √5) / 2 с десятью знаками после запятой. Фигуры вычерчены по реальному построению логотипа: S₁ получает один вертикальный срез, S₂ — две стружки (1/φ⁷ вертикальным срезом плюс 1/φ⁴−1/φ⁷ срезом по биссектрисе), S₃ — один срез параллельно хорде A–C, S₄ — один срез параллельно хорде A–D. Каждое смещение среза найдено двоичным поиском так, чтобы снятая площадь равнялась своей точной доле: наш вычисленный срез S₁ приходится на x = −0.468653, совпадая со схемой построения до шести знаков после запятой. Фигуры — USA Times Data Desk. Это просто для развлечения — ни один ресторан не пострадал.
Перевод с английского оригинала.
